‘गणित एक भाषा‘ ह्याविषयी थोडेसे
गणिताने विकसित केलेल्या संबोधांचा सर्व विज्ञानात पदोपदी उपयोग होतो म्हणून गणित ही सर्व विज्ञानाची भाषा आहे असे म्हणतात. बोल भाषेतील विचारांना चिन्हांचा उपयोग करून जेव्हा लेखी स्वरूपात मांडले जाते तेव्हा त्याला गणिती भाषांचे स्वरूप प्राप्त होते. म्हणून ही गणिती भाषा वाचता येणे आणि समजणे ह्या क्षमतांना प्राथमिक शिक्षणात महत्त्वाचे स्थान देणे आवश्यक आहे असे वाटते. त्याचप्रमाणे चिन्हांचा उपयोग करून गणिती विचार लिहिता येणे यालाही महत्त्व देणे आवश्यक आहे. गणिती उदाहरणे सोडवता येण्यासाठी ह्या क्षमतांवर सातत्याने लक्ष दिले पाहिजे. उदाहरणे सोडवता येण्याची क्षमता हळूहळू विकसित झाली पाहिजे. विद्यार्थ्यांना शाब्दिक उदाहरणे सोडवता येत नाहीत ह्याचे मुख्य कारण असे की त्यांचे भाषाज्ञान कच्चे असते. शाब्दिक उदाहरणात कोणती क्रिया अपेक्षित आहे, हे नेमके न कळल्यामुळे त्यांना उदाहरणे सोडवता येत नाहीत.
म्हणून आमच्या अध्यापनात व्यवहारातील भाषा आणि गणिती भाषा यामधील परस्पर संबंधावर सातत्याने भर दिला गेला पाहिजे. येथे एका भाषेचे दुसऱ्या भाषेत रूपांतर करता येण्याची क्षमता अपेक्षित आहे हे लक्षात घ्या.
कोणतेही कोडे (प्रश्न सोडवता येणे हे गणित शिक्षणाचे एक महत्त्वाचे फलित असले पाहिजे. गणिती भाषेत प्रश्न विचारले जाऊ शकतात का ? की प्रश्न विचारण्याकरता बोल भाषेचाच उपयोग करावा लागतो ?
गणितात केवळ तीन प्रकारची वाक्ये असतात हे आपण पाहिले आहे. त्रिगुणात्मक गुणधर्मानुसार कोणत्याही दोन संख्या ‘अ’ आणि ‘ब’ मध्ये खालीलपैकी एक आणि केवळ एकच संबंध प्रस्थापित होतो.
i) अ>ब, ii) अ<ब, iii) अ = ब
“विद्यार्थ्यांना ही भाषा अवगत व्हावी, यासाठी आपण दहा वर्षांची मुदत देतो आहोत हेही येथे नमूद करावेसे वाटते.”
द्विपद क्रियेसंबंधी उत्पन्न होणारे प्रश्न याविषयी थोडेसे
दोन संख्यांवर बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार आणि भागाकार ह्या क्रिया केल्यावर तिसरी संख्या मिळते. ह्या तीनपैकी कोणत्याही दोन संख्या माहीत असल्यास तिसरी संख्या कोणती हे सहज काढता येते. ह्या तीन संख्यांच्या संदर्भात प्रश्न विचारले जाऊ शकतात. रिकाम्या चौकटीमुळे प्रश्न सूचित होतो.
3+2=3+=5 +2=5
अनुक्रमे सूचित होणारे ते प्रश्न असे..
i) 3 आणि 2 ह्यांची बेरीज किती? ii) 3 मध्ये कोणती संख्या मिळवल्याने बेरीज 5 होईल? iii) कोणत्या संख्येत 2 मिळवल्याने बेरीज 5 होईल. ह्या प्रश्नांची उभी मांडणी पुढीलप्रमाणे होईल.
निःशेष भागाकाराच्या बाबतीत वरील प्रकारचे प्रश्न विचारले जाऊ शकतात हे उघड आहे.
कोणतीही क्रिया पूर्ण केल्यावर वर्गात त्या क्रियेसंबंधी वरील प्रकारचे, प्रश्न उपस्थित केले पाहिजेत.
वरील प्रकारच्या प्रश्नांचा मतीतार्थ विद्यार्थ्यांना समजणे आवश्यक आहे. म्हणून प्रश्नांकित वाक्याच्या वाचनाचा सातत्याने सराव होत राहणे आवश्यक वाटते.
3+5=8
म्हणून 3= 8-5
त्याचप्रमाणे
5=8-3
5=8-3 म्हणून 5+3=8
असे आपण म्हणू शकतो.
3=8-5
“एका बेरजेशी दोन वजाबाक्या संबंधित असतात.
एका वजाबाकीशी एक बेरीज आणि एक वजाबाकी संबंधित असते.
एका गुणाकाराशी दोन भागाकार संबंधित असतात.
जसे 3 x 4 = 12 शी 12 / 4 = 3 12 / 3 = 4 हे भागाकार
एका भागाकाराशी एक गुणाकार आणि एक भागाकार संबंधित असतो.
27/3=9 म्हणून 27= 9* 3 आणि 27/9=3
ह्या संबंधामुळे अपूर्णांकांना एक नवा अर्थ प्राप्त होतो.
कारण (13 / 7) * 7 = 13
म्हणून 13 /7 ही अशी संख्या की जिचा 7 शी गुणाकार 13 येईल.
कारण (19 / 8) x 8 = 19
म्हणून 19 / 8 ही अशी संख्या की जीचा 8 शी गुणाकार केल्यास गुणाकार 19 येईल.
19/8 ह्या चिन्हाला: 19 ला 8 ने निःशेष भागल्यावर मिळणारा भागाकार असाही अर्थ लागू शकतो.
19/8
8/19-19 =0
वर्गीकरण आणि आकृतीचा आशय ह्या दोन बाबीबाबत थोडेसे
वर्गीकरण करण्याची माणसाची सहज प्रवृत्ती असते. प्राणी म्हटल्यावर, हवेत उडणारे प्राणी, सरपटणारे प्राणी, चार पायांचे प्राणी, दोन पायांचे प्राणी असे वर्गीकरण होऊ शकते. प्रत्येक विशेषणामुळे दिलेल्या समूहाचा संकोच होतो. ही भावना विद्यार्थ्यात दृढ होणे आवश्यक आहे. गट आणि उपगट या संबोधांबाबतची भाषा मुलांना अवगत करणे शक्यही आहे आणि फायद्याचेही आहे. संचाचे गणित 1902 साली कॅटरने विकसित केले. हे गणित म्हणजे सर्व गणिताचा पाया समजले जाते. 100 वर्ष होऊनही प्राथमिक गणितातील संकल्पना स्पष्ट करण्याकरिता आम्ही संच संकल्पनेचा उपयोग करत नाही. प्रत्येक संख्येकडे वस्तूंचा गट म्हणून पाहण्याची आम्ही विद्यार्थ्यांना सवय लावली पाहिजे, बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकाराचे संबोध, संच संबोधांचा उपयोग करून विशद केले पाहिजेत, कारण असे केल्याने हे संबोध जास्त स्पष्ट होतात आणि त्यांचे आकलन सुलभ होते. प्राथमिक गणितासाठी गट आणि उपगट ह्या संबोधांची माहिती पुरेशी आहे. पण असा प्रयत्न होतो आहे असे दिसत नाही.
आकृतीचे वाचन करून काही अनुमान काढण्याची सवय विद्यार्थ्यांना लहानपणापासून लावली पाहिजे. खालील उदाहरण पहा.
आकृतीत आठ वस्तू, दोन गटात दाखवल्या आहेत. ह्या आकृतीकडे पाहूनच आपण पुढील अनुमान काढू शकतो.
3+5=8
5+3=8
8-3=5
8-5=3
बेरीज करणे आणि वजाबाकी करणे या क्रियांच्या अर्थावरून ही अनुमाने निघतात. समीकरणांना लागू पडणाऱ्या गुणधर्माचाही बोध होतो.
दशांश अपूर्णांक आणि त्यावरील क्रिया यासंबंधी थोडेसे
ज्यांच्या छेदस्थानी दहा किंवा दहाच्या पटीतील म्हणजे 100, 1000 यांपैकी संख्या असते त्या अपूर्णांकांना दशांश अपूर्णांक म्हणतात.
अंश छेद रूपातील दशांश अपूर्णांकांचेवर मूलभूत क्रिया कशा करायच्या हे विद्यार्थ्यांना अपूर्णांकांचे गणित शिकताना माहित झालेले असते. असे अपूर्णांक समछेदी असतील तर या क्रिया करता येणे आणखी सोपे जाते.
कोणत्याही दोन अपूर्णांकांना ज्याचे छेद समान असतील अशा रूपात बदलता येते म्हणून अशा दोन दशांश अपूर्णांकांची बेरीज सहज करता येईल.
दोन दशांश अपूर्णांकावर गुणाकार, भागाकार क्रिया करताना साध्या अपूर्णांकांना याबाबत जे नियम लागतात ते अशा अपूर्णांकांनाही लावता येतात. जसे-
3 /10* 35/100= 3*35/10*100= 105/1000
आणि
3/10 / 35/1000 =3/10* 1000/35 = 3*100/35= 300/35=
दोन दशांश अपूर्णांकांचा गुणाकार पूर्णतः दशांश असतो असे आपण खात्रीने म्हणू
आता 4 ÷ 7 चे रूपांतर दशांश अपूर्णांकात करताना प्रत्यक्ष भागाकार करावा लागेल.
दशांश अपूर्णांकाची अशी ओळख करून दिल्यावर दशांश टिंबाचा उपयोग करून दशांश अपूर्णांकाला सोयीस्कर रूप देता येते या मुद्याकडे वळू.
एकक स्थानाच्या अगदी डावीकडच्या स्थानावरील | या अंकाची किंमत 10 असते. एकक स्थानाच्या डावीकडील दुसऱ्या स्थानावरील 1 या अंकाची किंमत 10 * 10 असते. त्याचप्रमाणे एकक स्थानाच्या उजवीकडच्या पहिल्या स्थानावरील । ची किंमत 1/10 एवढी असली पाहिजे. ह्या नवीन स्थानाच्या उजवीकडील स्थानाची किंमत (110) * (110) एवढी असली पाहिजे. ह्या अर्थाचा उपयोग करून दशांश अपूर्णांक दाखवताना छेदांचा लोप करता येतो.
करतात.
एकक स्थान नेमके कुठे सुरू होते हे दाखवण्यासाठी दशांश टिंबांचा उपयोग
0.1 म्हणजे 1/10 3.7 म्हणजे 37 ÷ 10
0.01 म्हणजे 1 + 100 (1 ÷ 10 x 1 = 10)
0.0011 1000 (1 = 10* 1 ÷ 10 × 1 = 10)
याप्रमाणे पूर्णांकयुक्त दशांश अपूर्णांकांना टिंबाचा उपयोग करून सोपे रूप देता येते.
37, 7 ÷ 1000 = 37.007
हे रूपांतर मुलांना करता येते अशी खात्री झाल्यावरच बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार आणि भागाकार करण्याच्या रीतीकडे वळावे.
बेरीज वजाबाकी गुणाकार क्रिया करताना दशांश चिन्हाचा लोप केल्यावर ज्या संख्या मिळतात त्यांच्या ह्या क्रिया केल्यावर दशांश टिंब परत कुठे घ्यायचे याची काळजी घ्यावी लागते. दशांश अपूर्णांकांना सम दशांशस्थळी अपूर्णांकाचे रूप दिल्याने चुका होण्याचे धोके टळतात हा मुद्दा महत्त्वाचा.
अं शाला आणि छेदाला 10 ने गुणले असता अपूर्णांकांच्या किंमतीत बदल होत नाही याचा येथे उपयोग होतो.
दशांश अपूर्णांकाच्या संदर्भात दहाने गुणण्यासंबंधीचे आणि 10 ने भागण्यासंबंधीचे महत्त्वाचे गुणधर्म मिळतात ते असे..
दशांश अपूर्णांकाला 10 ने गुणले असता गुणाकाराचे उत्तर दशांश टिंब एक स्थान उजवीकडे सरकवल्याने मिळते.
दशांश अपूर्णांकाला 10 ने भागले असता भागाकाराचे उत्तर काढण्यासाठी दशांश टिंब एक स्थान डावीकडे सरकवावे लागते.
3.57 *10= 35.7
3.57 *(1/10) = .357
नुसते नियम सांगितल्याने मुलांना नियमांचे काटेकोर पालन जमेल अशी अपेक्षा करणे चुकीचे आहे. नियमांच्या समजण्यावर भर देणे आवश्यक.
नाणी आणि गणित
भारताने नाण्यांसाठी दशमान पद्धतीचा स्वीकार केला आहे. विद्यार्थ्यांना नाणी आणि नोटांचा जितक्या लवकर परिचय करून देता येईल तितके चांगले. गणिताचे संबोध समजण्यासाठी नाण्यांचा उपयोग करता येतो. दोन अंकी किंवा त्यापेक्षा मोठ्या संख्यांची बेरीज वजाबाकी शिकवताना एकक संख्येसाठी सुटे रुपये. दशकच्या अंकाऐवजी तितक्याच दहाच्या नोटा, शतक संख्येसाठी शतकच्या नोटा घेतल्यास, एककांची बेरीज 10 पेक्षा जास्त झाल्यास त्यातले 10 रुपये म्हणजे एक दहाची नोट. ही एक नोट दशकांच्या बेरजेत मिळवावी लागेल. कारण संख्या लिहिताना कोणताही अंक दहापेक्षा मोठा असत नाही. हीच पद्धत शतक आणि हजार स्थानाच्या अंकासाठी पाळावी लागते. हे त्यांना समजते. यासाठी शतकच्या नोटा, दशकच्या नोटा आणि सुटे रुपये हे अंकांचे चांगले प्रतिनिधित्व करू शकतात. त्यामुळे गणिताचे संबोध समजण्यास मदत होते.
नाण्यांचा खेळ
वर्गात प्रत्यक्ष नाणी किंवा नोटा न वापरता त्याऐवजी त्यांच्या प्रतिकृती वापरता येतील. नाण्यांचे आणि नोटांचे, एक ठराविक किंमत असलेले संयोग (combination) अनेक प्रकारे करता येतात. प्रत्यक्ष नाणी हाताळून विद्यार्थ्यांनी अशे संयोग शोधून काढावेत. जसे,
218/ आजचा सुधारक / ऑगस्ट 2004
7 रु. = 1 रु. 7
2 रु. × 3 + 1 रु.
5 रु. + 2 रु.
25 रु. = 20 रु. +5 रु.
105.
2+2 5. X 2 +15.
= 5 रु. × 5
2 रु. × 12 + 1 रु.
2 रु.
10+5 रु.
हे वेगवेगळे संयोग विद्यार्थ्यांना गणिती भाषेत मांडता यावेत ही अपेक्षा नाही. पण या संयोगांचे त्यांनी बोलभाषेत वर्णन करावे अशी अपेक्षा ठेवणे रास्त ठरेल.
गणिताच्या संबोधांबाबतचे अज्ञान आणि अनास्था
एका प्राथमिक शाळेत आयोजित गणिताच्या चर्चासत्रात, गणित विषयाच्या संबोधाबाबत पुढील प्रश्न विचारण्यात आला.
साधारणपणे 1 ते 9 ह्या संख्या शिकवल्यानंतर मुलांना ) ची ओळख करून दिली जाते. 1 ते 9 ह्या संख्यांचा त्यांच्या चढ्या क्रमाने अभ्यास होतो. ) ही संख्या 9 नंतर शिकवली जात असल्यामुळे ती 9 पेक्षा मोठी का नाही, असा तो प्रश्न होता. 0 ही संख्या 1 पेक्षा लहान का असे कोडे शिक्षकांना पडले होते. 1 ते 9 ह्या संख्यांमध्ये चढता क्रम असतो असे पुन्हा पुन्हा सांगितलेले असल्यामुळे ह्या संख्यांमधील लहानमोठेपण गृहीतच धरले जाते. शिक्षकाने जे सांगितले ते विद्यार्थ्यांनी शिरोधार्य मानलेच पाहिजे असा अध्यापनाचा दृष्टिकोण असतो. ह्याच चर्चासत्रात | पुढे 0 लिहिल्याने 10 होतात त्याला काही कारण देता येते का असा मला प्रश्न विचारण्यात आला. स्थान-संबोधाबाबतचे अज्ञान असे प्रश्न विचारण्याने उघड होते. विद्यार्थ्यांकडूनही एकावर शून्य दहा, असे घोकून घेतले जाते. मग अंकाच्या स्थानिक किंमतीबाबतचा संबोध विद्यार्थ्यांना समजत नाही याचा दोष कुणावर येतो ?
आमच्या समाजात गणिती संबोधाबाबत पूर्ण अनास्था दिसून येते. गणित ही चिन्हांची भाषा आहे आणि ह्या चिन्हांचा विशिष्ट अर्थ प्रदान केलेले असतात. ही जाण आम्हाला नसते. शिक्षकांनाच स्थान संबोधाचे महत्त्व कळले नसेल तर ते विद्यार्थ्यांच्या गळी उतरवणे त्यांना जमणार नाही हे उघड आहे.
आमच्या समाजात गणित विषयासंबंधी असलेली ही अनास्था कशी दूर करता येईल ? विज्ञानाविषयी समाजात नवजागृती व्हावी ह्यासाठी काही ज्येष्ठ वैज्ञानिक एकत्र येऊन त्यांनी बालविज्ञान चळवळ सुरू केली आहे. गणिताच्या बाबतीतही अशी चळवळ सुरू करण्याची नितांत गरज आहे.
माध्यमिक शालेय स्तरावर महाराष्ट्र राज्य गणित शिक्षक अध्यापक महामंडळाने अशी चळवळ सुरू करून वीस वर्षांहून जास्त वर्षे झाली. पण ह्या चळवळीचा परिणाम मुख्यतः बुद्धिमान विद्यार्थ्यांवर झाल्याचे जाणवते. पण सर्वसाधारण लोकांना ह्या चळवळीने स्पर्श केला आहे असे चित्र दिसत नाही. प्राथमिक शिक्षणाबाबत सर्वत्रच अनास्था दिसून येते. शिक्षणाचे व्यापारीकरण झाले आहे. प्राथमिक शिक्षण पूर्ण केलेला सर्वसाधारण विद्यार्थी गणिताचे अनेक सदोष संबोध उराशी बाळगून माध्यमिक शाळेत प्रवेश घेत असतो आणि सरतेशेवटी न्यूनगंडाचा शिकार होतो.
पाच वर्षांच्या अध्ययनानंतर बेरीज वजाबाकीचे आणि गुणाकाराचे दहापर्यंतचे पाढे तोंडपाठ असावेत, तसेच आमच्या विद्यार्थ्यांनी ह्या कालावधीत अंकगणितातील प्राथमिक क्रिया अचूकपणे करण्यावर प्रभुत्व मिळवावे ही अपेक्षा बाळगणे अयोग्य आहे काय ? ह्या क्रिया मुलांना अचूक करता याव्यात ह्यासाठी त्यांना योग्य ती शिस्त आणि योग्य त्या सवयी लावण्याची जबाबदारी शिक्षक वर्गालाच स्वीकारावी लागेल हे ओघानेच आले. त्यासाठी, सर्व गणितप्रेमी लोकांनी, गणित शिक्षकांनी तसेच गणितात तज्ञ असलेल्या लोकांनी एकत्र येऊन ह्याबाबत सामूहिक तोडगा काढण्याची नितांत गरज आहे, असे होत आहे. असे चित्र नजीकच्या भविष्य काळात दिसू शकेल का ?
[या लेखासोबत फडणिसांची मूळ मांडणी संपली. याच अंकात फडणिसांच्या मांडणीला पूरक इतरही सूचना देणारे व त्या क्षेत्रात इतरांनी केलेल्या कामाचे वर्णन करणारे एक पत्र आहे. अशी आणखी काही पत्रे अपेक्षित आहेत. त्यानंतर श्री. फडणीस यांना पुन्हा लिहिण्यास आम्ही विनंती करू. – सं.]
92, शुभलक्ष्मी अपार्टमेंट्स, जनार्दन स्वामी मार्ग, रामनगर, नागपूर-440033