प्राथमिक शिक्षणात गणित विषयाचे अध्यापन आणि अध्ययन-एक चिंतन (भाग २)

संख्यांची लेखनपद्धती 0, शून्याची संकल्पना साकारल्याशिवाय हे शक्य होणार नव्हते. म्हणून दशक संकल्पनेनंतर ) ची संकल्पना सुचणे हा गणिताच्या प्रगतीतील महत्त्वाचा टप्पा समजला जातो. पण मोठ्या संख्या लिहिता येण्यासाठी आणखी एका संबोधाचे आकलन होणे आवश्यक होय. लिहिताना आपण कागदाच्या पानाचा, किंवा फळ्याचा (जमिनीवरील धुळीचासुद्धा) उपयोग करतो. पानाला डावी बाजू, उजवी बाजू, तसेच खालची बाजू असते. पानावर उभी रेघै ओढल्यास रेघेच्या डावीकडे आणि उजवीकडे अशा बाजू असतात. 0 ते 9 ह्या दहा चिह्नांचा उपयोग करून दोन अंकी संख्या लिहू शकू का? दोन अंकी संख्येत किती दहा आहेत आणि (दहा पेक्षा कमी) सुटे एकक किती हे सांगता येत असल्यामुळे रेघेच्या डावीकडे दशक अंक लिहून आणि उजवीकडे (एकाच ओळीत) एकक लिहून इष्ट संख्येचा बोध होतो. जसे छप्पन म्हणजे 5 दहा आणि 6 एकक हे 5/6 असे लिहून दाखवता येऊ शकतात. दहा आता ह्या संख्येचे लेखी स्वरूप ’10’ असे होते. कारण दहा ह्या संख्येत 1 दहा आणि 0 सुटे असतात. विद्यार्थ्यासमोर अशी तात्त्विक चर्चा करणे अर्थातच अपेक्षित नाही. पण ह्या संख्येचे महत्त्व पटवणारे अध्यापन वर्गात व्हावे अशी अपेक्षा करणे वावगे ठरणार नाही.

एकूण काय, संख्यांच्या नावामध्येच दशकाची संकल्पना, बेरीज आणि वजाबाकीचे संबोध आणि संख्यांच्या लिखाणात ) ची संकल्पना आणि स्थान महत्त्व अभिप्रेत आहे. म्हणून रोजच्या व्यवहारात प्रचलित असलेली संख्यांची नावे एकदम न शिकवता सुरुवातीला दशक आणि एकक ह्या स्वरूपात नावे शिकवावीत.

संख्येचे नाव उच्चारल्याने सुट्या वस्तूंचा म्हणजे एक-एक अशा वस्तूंचा बोध होतो. छप्पन ह्या नावाने एक-एक करून अशा छप्पन वस्तू असा बोध होतो. पण हीच संख्या 56 अशी लिहून दाखवल्याने दोन प्रकारचा बोध होतो. छप्पन सुट्या वस्तू किंवा दहाचे पाच गट आणि सहा सुट्या वस्तू. 305 असे लिहिल्याने तीन प्रकारचा बोध होतो. (1) तीनशे पाच सुट्या वस्तू (2) दशकांचे 30 गट आणि 5 सुट्या वस्तू (3) शतकांचे (शंभराचे) तीन गट आणि 5 सुट्या वस्तू तसेच 3 ह्या अंकाची स्थानिक किंमत तीनशे, 0 ह्या अंकाची स्थानिक किंमत 0 दशक, आणि 6 ह्या अंकाची स्थानिक किंमत 6.

संख्या संकल्पनेचा उगम तुलना करणे ही एक माणसाची सहज प्रवृत्ती आहे. वस्तूंचे दोन गट दिले असता कोणत्या गटात कमी वस्तू आणि कोणत्या गटात जास्त वस्तू, की दोन्ही गटातील वस्तू एकमेकांबरोबर आहेत, अशी तुलना होऊ शकते. अशी तुलना करता येण्यासाठी संख्यांचे ज्ञान असणे आवश्यक नाही. एका गटातील एक वस्तू आणि दुसऱ्या गटातील एक वस्तू ह्यांची एकास एक अशी जोड्या लावून ही तुलना करता येते. एकदा एका वस्तूचा जोडीदार निश्चित केल्यावर त्या वस्तूला दुसरा जोडीदार लाभणार नाही ही अट पाळून तुलना पूर्ण झाल्यावर ज्या गटात जोडीदार न लाभलेल्या वस्तू असतील त्या गटात जास्त वस्तू असतील हे उघड आहे व ज्या गटातील प्रत्येक वस्तूला एकास एक असा जोडीदार असतोच. त्या गटात कमी वस्तू आहेत असे आपण म्हणू शकतो. जिला एकास एक जोडीदार नाही अशी एकही वस्तू दोन्ही गटांत नसेल तर दोन्ही गटांत बरोबरीने वस्तू आहेत असे म्हणता येते.

कमी जास्ती जितक्यास तितके दोन गटांची तुलना करता येण्यासाठी संख्याविषयीचे ज्ञान असणे आवश्यक नाही. शेतीप्रधान संस्कृतीमध्ये माणसाजवळ गाई म्हशींची संपत्ती असे. गाईंना रोज चरायला न्यावे लागे. संध्याकाळी घरी परतल्यावर जितक्या गाई चारायल्या नेल्या होत्या तितक्या परत आल्या की नाही हा प्रश्न पड़े. प्रत्येक गाईसाठी गोठ्यात एक खुंटी ठरलेली असे. जितक्या गाई तितक्या खुंट्या असत. संध्याकाळी घरी परतल्यावर प्रत्येक खुंटीला एक गाय बांधली जाई. खुंटी रिकामी राहिल्यास जितक्या गाई चरायला गेल्या होत्या त्यापैकी कमी गायी परत आल्या हे सहज कळे.

एकास एक अशा जोड्या लावून दोन गटांची तुलना केल्यास खालील तीनपैकी केवळ एक आणि एकच स्थिती संभवते. (१) पहिल्या गटात दुसऱ्यापेक्षा कमी वस्तू आहेत (२) पहिल्या गटात दुसऱ्यापेक्षा जास्त वस्तू आहेत. (३) पहिल्या गटात जितक्या वस्तू आहेत तितक्याच वस्तू दुसऱ्या गटांत आहेत. ह्या गुणधर्माला तुलनेचा त्रिगुणात्मक गुणधर्म म्हणतात. सर्वप्रकारच्या तुलनांना हा गुणधर्म लागू पडतो.

तुलनेची भाषा समजण्याला आणि वापरता येण्याला एक प्रकारचे महत्त्व प्राप्त होणे, स्वाभाविक आहे. कोणत्याही दोन वस्तूंचा विचार करत असताना आपण आधी त्यामधील साम्य आणि वेगळेपण ओळखण्याचा प्रयत्न करतो. आपण त्रिमितीय जगात वावरत असल्यामुळे आपण दोन वस्तूंच्या आकारांची तुलना लहान, मोठा अशा शब्दांत करतो. आकारात कमी, म्हणून लहान, आकारात मोठा, म्हणून मोठा, अशी तुलना करण्याची आपली प्रवृत्ती असते. दोन वस्तूंची आकाराबाबत तुलना करताना ती पुढीलप्रमाणे होऊ शकते. पहिली वस्तू दुसऱ्यापेक्षा लहान, पहिली वस्तू दुसऱ्यापेक्षा मोठी किंवा पहिली वस्तू जितकी मोठी तितकीच दुसरी वस्तूही मोठी. या तीन वस्तुस्थितीपैकी एक आणि केवळ एकच वस्तुस्थिती असू शकते.

दोन झाडांकडे पाहून कमी उंच, जास्त उंच, जितके उंच तितके उंच, अशी तुलना होऊ शकते. त्रिगुणात्मक गुणधर्म इथेही लागू पडतो.

दोन वस्तूंमध्ये, कमी जड, जास्त जड, जितकी जड तितकी जड. अशी तुलना होऊ शकते. त्याचप्रमाणे दोन काट्यांमध्ये कमी लांब, जास्त लांब, जितकी लांब, तितकी लांब, अशी तुलना होऊ शकते. येथे देखील तुलनेचा त्रिगुणात्मक गुणधर्म (Law of Trichotomy) लागू पडतो. विद्यार्थ्यांना ही भाषा शिकवताना लांबी, रुंदी, उंची, वजन हे शब्द कटाक्षाने टाळले पाहिजेत. तुलनेसाठी सर्वमान्य एकक निश्चित केल्याशिवाय ह्या शब्दांना अर्थ नसतो. प्रमाणीकरणाची गरज विद्यार्थ्यांना पटण्यासाठी त्यांनी तुलनेचा अनेकविध अनुभव घेणे आवश्यक आहे.

दोन संख्यांची तुलना प्रत्येक संख्या ही विशिष्ट वस्तुगटाशी निगडित असते. ‘एक’ ही संख्या ज्या वस्तुगटात एकच वस्तु आहे अशा कोणत्याही गटाशी निगडित असते. एक वस्तू असलेल्या वस्तुगटामुळे ‘एक’ ह्या संख्येचा बोध होते. आणि संख्येचे ‘एक’ हे नाव उच्चारल्यास त्या वस्तुगटात एकच वस्तू आहे अशा कोणत्याही वस्तुगटाचे चित्र उभे राहते. जेव्हा दोन गटांच्या बाबतीत एकात दुसऱ्यापेक्षा कमीही वस्तू नाहीत तसेच जास्त वस्तूही नाहीत अशी स्थिती असते. तेव्हा ते गट बरोबर आहेत असे म्हणतात.

एक आणि एकच वस्तू असणाऱ्या सर्व गटाशी ‘एक’ ही संख्या निगडित असते. दोन आणि केवळ दोनच वस्तू असणाऱ्या सर्व गटाशी ‘दोन’ ही संख्या निगडित असते. ह्या गोष्टीचा उपयोग करून विद्यार्थ्यांना आपण दहापर्यंतच्या संख्यांची सहज ओळख करून देऊ शकतो. वास्तव जगात मिळणाऱ्या अनुभूतीतून अमूर्त कल्पनांना आकार देण्याच्या माणसाच्या सहजप्रवृत्तीमुळे माणसाला संख्यांसंबंधीचे ज्ञान प्राप्त होत गेले. प्रत्येक संख्येचा एका विशिष्ट वस्तुगटाशी अन्योन्य असा संबंध असतो. यामुळे ‘संख्या’ या अमूर्त संकल्पनेला संगत वस्तुगटामुळे मूर्तता प्राप्त होते. विद्यार्थ्यांना सुरुवातीपासून तुलनेची भाषा अवगत होणे आवश्यक आहे.

आपण त्रिमितीय वास्तव जगात वावरत असतो. या जगाला लांबी, रुंदी आणि उंची असे तीन आयाम आहेत. आपण आपले जीवन पृथ्वीवर व्यतीत करीत असल्यामुळे, सूर्योदय, सूर्यास्त, दिवस आणि रात्र या गोष्टी आपल्या रोजच्या अनुभवातल्या गोष्टी आहेत. काल, आज आणि उद्याची जाणीव होणे म्हणजे काल आणि वेळ ह्या महत्त्वाच्या संकल्पनांची ओळख होण्याची सुरुवात होय. लहान वयात मुलांना काळ आणि वेळ या संबंधीच्या ‘संकल्पना समजण्यास कठीण’ असा सर्वसाधारण अनुभव आहे. पण लांबी आणि आकारमानाच्या संकल्पना मुलांना समजण्यास अडचण येत नाही. ह्या संकल्पनांबाबत तुलनेच्या भाषेचे स्वरूप पुढीलप्रमाणे असते. कमी लांब कमी उंच लहान जास्त लांब जास्त उंच मोठा जितके लांब, तितके लांब जितके उंच, तितके उंच जितका मोठा, तितका मोठा प्रत्येक तुलनात्मक भाषेला ‘त्रिगुणात्मक गुणधर्म (Law of trichotomy)’ लागू पडतो.

तुलनेची भाषा अवगत केल्याने मुलांना गणिती संबोधांचे सहज आकलन होते असे मानसशास्त्रज्ञांचे म्हणणे आहे. कमी आणि जास्त अशा तुलनेतून गणित शास्त्र विकसित होत गेले. बेरीज करणे म्हणजे जास्त करणे आणि वजाबाकी करणे म्हणजे कमी करणे. असे आपण थोडक्यात सांगू शकतो. कमी आहे साठी, जास्त आहे साठी, आणि बरोबर आहे साठी = ह्या चिन्हांचा उपयोग करून तुलनात्मक बोलभाषेला गणिती रूप देता येते. तीन हे सातपेक्षा कमी आहेत चे गणिती रूपांतर 3 < 7 असे होईल. आठ हे दोनपेक्षा मोठे आहेत चे भाषांतर 82 असे होईल. 3 आणि 2 ह्यांची बेरीज 5 होते चे गणिती रूप 3 + 2 = 5 असे होईल. ही गणिती भाषा मुलांना वाचता यावी तसेच लिहिता यावी हे अध्ययनाचे उद्दिष्ट असणे आवश्यक आहे. सध्याच्या अध्ययनपद्धतीत ह्या क्षमता जाणीवपूर्वक विकसित केल्या जात नाहीत. शाब्दिक लेखी उदाहरणे विद्यार्थ्यांना सोडविता येत नाहीत. याचे कारण शाब्दिक उदाहरणात कोणती गणिती क्रिया अभिप्रेत आहे. ह्याचे निश्चित आकलन विद्यार्थ्यांला होत नाही. शाब्दिक उदाहरणाची गणिती मांडणी करून ते सोडविता येण्याची क्षमता विद्यार्थ्यांत निर्माण व्हावी हे अध्यापनाचे अगदी सुरुवातीपासूनचे उद्दिष्ट असले पाहिजे. अंकगणितात केवळ तीन प्रकारच्या वाक्यांचा प्रयोग होतो. कोणत्याही दोन संख्यांची (समजा a आणि b ह्या त्या दोन संख्या आहेत) तुलना केल्यास (i) a < b (ii) a > b (iii) a = b अशी वाक्ये तयार होतात आणि दोन विशिष्ट संख्यांसाठी ह्या तीन वाक्यांपैकी कोणते तरी एकच वाक्य तयार होते.

गणिताची भाषा ही मुख्यतः चिह्नांकित भाषा आहे. या भाषेतील चिह्नांचा अर्थ समजणे, ही चिह्ने वाचता येणे आणि सरतेशेवटी चिह्नांचा वापर करून गणिती भाषा मांडता (लिहिता) येणे, ह्या क्रमाने क्षमता विद्यार्थ्यांमध्ये विकसित होत राहाव्यात. सर्वसाधारणपणे प्रचलित असलेल्या अध्ययनपद्धतीत अशा विकासाच्या क्रमावर जितका भर दिला पाहिजे तितका तो दिला जात नाही असे खेदाने म्हणावे लागते.

‘पाच’ ह्या शब्दाने आपल्या मनात असलेल्या संख्येचा (म्हणजे पाच ह्या संख्येचा बोध होतो). ‘पाच’ हा शब्द उच्चारल्यावर विद्यार्थ्याने ‘पाच’ वस्तू असलेला गट दाखवल्यास विद्यार्थ्याला ‘पाच’ ह्या शब्दाचा अर्थ कळला आहे असे म्हणता येते. तसेच ‘पाच’ वस्तू असलेल्या गटामध्ये ‘पाच’ वस्तू आहेत हे विद्यार्थ्याला सांगता यावे. विद्यार्थ्याने 5 ह्या चिह्नाचे वाचन ‘पाच’ केल्याने, त्याला चिह्नाचा अर्थ समजला आहे असे आपण म्हणू शकतो. याप्रमाणे ‘पाच’ ह्या शब्दाचा उच्चार केल्यावर विद्यार्थ्याला 5 हे चिह्न लिहून दाखवता आले पाहिजे. ह्या चिह्नाशी निगडित असलेला वस्तुगट काढून दाखव. असे म्हटल्यावर त्याने पाच टिंबाचा गट दाखवल्यास किंवा हाताची पाच बोटे दाखवल्यास त्याला पाच ह्या संख्येविषयीचे प्राथमिक संबोध समजले आहेत असे म्हणता येईल. आम्ही चिह्नाच्या लिहिता येण्यावर सर्व लक्ष केंद्रित करतो. चिह्नाच्या समजुतीकडे आमचे दुर्लक्ष होते. बेरीज वजाबाकीचे नियम सांगितल्यावर विद्यार्थ्याने ते तंतोतंत पाळले पाहिजेत अशी आपली अपेक्षा असते. पण जे समजलेले नसते ते कृतीत उमटत नाही असा दुःखद अनुभव आपल्या वाटेस येतो. ह्याचा सर्व रोष आम्ही विषयाच्या अमूर्ततेवर काढतो आणि आपली अध्यापनासंबंधीची जबाबदारी झटकतो. विद्यार्थ्यांना गणित का येत नाही याचा आम्ही खोलवर विचार केला पाहिजे.

गणितशास्त्राची रचना गणित हे ‘एकाएकी’ प्रगट झालेले शास्त्र नाही हे आपण समजून घेतले पाहिजे. हे शास्त्र सांप्रत इतके विकसित होण्याला अनेक शतकांचा कालावधी जावा लागला. हे शास्त्र पूर्णपणे मानवनिर्मित शास्त्र असल्यामुळे ह्याच्या विकासात अनेक वेळा अनेक अडचणी निर्माण होत राहिल्या आणि काही काळ प्रगतीचा मार्ग खंडित होत राहिला. ह्या अडचणींवर मात करण्यासाठी चिह्नांना दिलेल्या सुरुवातीच्या अर्थांचा योग्य तो विकास करावा लागला. या संदर्भात बेरीज वजाबाकी ह्या क्रियाचिह्नांचा विचार करू. + व- ही चिह्ने आपण अनुक्रमे बेरीज आणि वजाबाकीसाठी वापरतो. एकत्र करणे, जास्त करणे, वाढवणे, गोळा करणे असा प्राथमिक अर्थ आपण + ह्या चिह्नाला देतो. 3 + 2 ही बेरीज करणे म्हणजे तीन वस्तूचा एक गट आणि 2 वस्तूंचा एक गट असे दोन गट एकत्र करणे, किंवा 3 वस्तूंचा गट (ह्यात वस्तूंची भर टाकून) 2 ने वाढवणे, किंवा 2 ने जास्त करणे किंवा 3 वस्तू आणि 2 वस्तू गोळा करणे असा होतो. वस्तूंची संख्या 2 ने वाढवल्यावर मिळणाऱ्या गटात 5 वस्तू होतात म्हणून 3 आणि 2 ची बेरीज 5 असे आपण म्हणतो. पण आपण ह्याच अर्थाला चिकटून राहिल्यास मोठ्या संख्यांच्या बाबतीत बेरजेचे उत्तर काढण्यास खूप वेळ खर्च करावा लागेल आणि उत्तर काढताना, चुका होण्याचा संभव जास्त, म्हणून बेरजेसाठी म्हणजे + ह्या चिन्हासाठी, ‘पुढे मोजणे’ असा अर्थ केल्यास उत्तर काढण्यास कमी वेळ लागेल हे उघड आहे. 3 + 2 ह्याचे पहिल्या अर्थानुसार उत्तर काढताना पहिल्या गटातील 3 वस्तू पुन्हा मोजल्या जातात त्या आधीच मोजलेल्या असल्यामुळे त्या पुन्हा मोजायची गरज नाही. ह्याची जाणीव आम्ही विद्यार्थ्याला देत नाही. सर्व साधारणपणे तीन ही संख्या मनांत ठेव आणि पुढे 2 मोज असे त्याला सांगितले जाते. पण पुढे का मोजायचे हे त्याला समजलेले नसते. वजाबाकीच्या बाबतीतही असाच प्रश्न उद्भवतो. ‘-‘ ह्या चिह्नाचा प्राथमिक अर्थ कमी करणे, काढून टाकणे असा असतो. पण मोठ्या संख्यांच्या बाबतीत ‘मागे मोजणे’ असा अर्थ देणे सोयीचे होते. 8-2 ही वजाबाकी करताना 8 वस्तूंचे चित्र काढून त्यातून 2 वस्तू काढून टाकण्याची क्रिया करावी लागते. 6 उरतात म्हणून हे 6 वजाबाकीचे उत्तर. हेच उत्तर आपण 8 च्या मागे 2 संख्या मोजून काढू शकतो जसे 7, 6, म्हणून 6 हे वजाबाकीचे उत्तर. पुढे जाणे आणि मागे जाणे ह्या विकसित अर्थाचा फार मोठ्या संख्यांच्या बाबतीत उपयोग केल्यास जास्त वेळ लागतो. 56+3 ही बेरीज करताना 56 च्या पुढील 3 संख्या मोजाव्या लागतात. जसे 57, 58, 59 म्हणून 56+3= 59. हीच रीत आपण 56+38 ह्या बेरजेला लावली तर 56 च्या पुढे आपल्याला 38 संख्या मोजाव्या लागतील. वेळ तर लागेलच पण चुका होण्याची शक्यताही जास्त, म्हणून दोन अंकी संख्यांच्या बेरजेसाठी एखादी सोपी रीत शोधावी लागते. कोणत्याही दोन मोठ्या संख्यांच्या बाबतीत बेरजेची जी सोपी रीत आपण वापरतो त्याची चर्चा करण्याआधी एक महत्त्वाचा मुद्दा येथे मांडावासा वाटतो.

एकपासून सुरुवात करून शंभरपर्यंतच्या संख्या एकापाठोपाठ एक अशा सलग मोजता येण्याचे कौशल्य विद्यार्थ्यांनी आत्मसात करण्यावर आपण आपल्या अध्यापनात जेवढा भर देतो तेवढा भर विद्यार्थ्यांना याच संख्या उलट मोजता येण्यावर देत नाही. तोंडी वजाबाकी करताना उलट मोजता येण्याचे कौशल्य उपयोगी पडते. म्हणून सलग ‘सुलट’ आणि ‘उलट’ मोजता येण्याची क्षमता निर्माण करणे हे आपल्या अध्यापनाचे उद्दिष्ट असले पाहिजे.

वजाबाकीचा सुरुवातीचा अर्थ कमी करणे, काढून टाकणे असा असतो. या अर्थानुसार 56-3 ही वजाबाकी करायची असेल तर 56 घेऊन 3 वस्तू कमी कराव्या लागतील त्यापेक्षा 56 च्या मागे तीन संख्या मोजल्याने उत्तर चटकन मिळते जसे 55, 54, 53 म्हणून 56-3 चे उत्तर 53.

पण मोठ्या संख्यांच्या बाबतीत ही रीत वापरणे सोयीचे असत नाही. 68-42 ही वजाबाकी करताना 68 च्या मागे 42 संख्या मोजाव्या लागतील उलट मोजताना चुका होण्याचा संभवच जास्त.

ह्या अडचणींचा विद्यार्थ्यांना प्रत्यक्ष अनुभव देणे आवश्यक आहे. दोन अंकी दोन संख्यांची बेरीज आणि वजाबाकी करताना ह्या संख्या एकमेकाखाली लिहिल्याने सोयीचे होते हे विद्यार्थ्यांच्या लक्षात आणून देणे आवश्यक आहे. येथे दशकाच्या स्तंभात दशकचे अंक आणि एककाच्या स्तंभात एकक म्हणजे सुटे दाखवणारे अंक लिहिण्याची दक्षता घेणे महत्त्वाचे ठरते. प्रत्येक स्तंभातील अंक 0 ते 9 पैकीच एखादा अंक असतो. 0 ते 9 पर्यंतच्या दोन संख्यांची बेरीज आणि वजाबाकी करण्याची क्षमता असेल तर संख्यांच्या एकाखाली एक लिहिण्यामुळे आता अशा बेरजा आणि वजाबाकी करणे सोपी जाते. दोन अंकी संख्यांच्या बेरजेसाठी किंवा वजाबाकीसाठी आपण जी रीत वापरतो तीच रीत त्यापेक्षा मोठ्या संख्यांच्या बाबतीत वापरली जात असल्यामुळे आणि प्रत्येक स्तंभातील अंक 9 किंवा 9 पेक्षा लहान असल्यामुळे दोन एक अंकी संख्याच्या बेरीज वजाबाकी तात्काळ करता येण्याला अनन्यसाधारण असे महत्त्व प्राप्त होते.

बेरीज वजाबाकीचे पाढे साधारणपणे बेरजेचे आणि वजाबाकीचे पाढे विद्यार्थ्याच्या स्मरणात कायमचे रुजतील असा आमच्या अध्यापनात जाणीवपूर्वक प्रयत्न होत नाही. प्रत्येक वेळेला बोटांच्या साह्याने ह्या क्रिया करण्याची सवय आम्ही विद्यार्थ्यांना लावतो. गुणाकाराचे पाढे मात्र विद्यार्थ्याला तोंडपाठ असावेत अशी आपली अपेक्षा असते. विद्यार्थ्यांच्या मनात आपल्याला गणित येऊ शकते असा आत्मविश्वास निर्माण करायचा असेल तर एक अंकी दोन संख्यांच्या बेरीज वजाबाकीवर अध्यापनाचा भरपूर वेळ खर्च करणे आवश्यक आहे. म्हणून सुरुवातीला तोंडी गणिताला महत्त्व दिले गेले पाहिजे. त्यामुळे बुद्धीला सतत व्यायाम मिळत राहतो, मन नेहमी सतर्क ठेवण्यास मदत मिळते. पाढ्यांचा अभ्यास सामूहिकरित्या होण्यालाही महत्त्व दिले गेले पाहिजे. प्रत्येक विद्यार्थ्याला दहा पर्यंतचे बेरीज, वजाबाकी आणि गुणाकाराचे पाढे तोंडपाठ असावे हे शिक्षणाचे सामाजिक उद्दिष्ट असण्यात कोणती अडचण आहे, हे समजण्यापलिकडचे आहे. पाच वर्षाच्या कालावधीत आम्ही जर हे उद्दिष्ट गाठू शकलो नाही तर आमच्या अध्यापनपद्धतीत आमूलाग्र बदल करण्याची गरज आहे असे खेदाने म्हणावेसे वाटते.

दिलेल्या संख्येचे दोन संख्यांत विभाजन करता येण्याची क्षमता 5 या संख्येचे 1, 4 किंवा 2, 3 असे दोन संख्यांत विभाजन होऊ शकते. ह्या विभाजकाची बेरीज 5 होते हे लक्षात घ्या, दिलेल्या संख्येचे असे सोयीस्कर तुकडे पाडण्याची क्षमता विद्यार्थ्यात विकसित करणे हे अध्यापनाचे महत्त्वाचे उद्दिष्ट असले पाहिजे. अशी क्षमता प्राप्त असल्यास, दोन एक अंकी संख्यांची बेरीज 10 पेक्षा जास्त असेल तर अशा संख्यांची बेरीज मनातल्या मनात करणे सोपे जाते. समजा 9 + 8 ही बेरीज करायची आहे. 9 अधिक 1, 10 म्हणून 8 चे 1, 7 असे तुकडे पाडून 10 अधिक 7, 17 असे एकदम सांगता येते. मनातल्या मनात बेरीज करायची ही रीत शिकवलीच जात नाही असे दिसते. या मागे मुलांना ही रीत समजण्यास अवघड जाते हे सोयीचे कारण पुढे केले जाते. 1 ते 10 पर्यंतच्या संख्यांचे किती प्रकारे दोन संख्यांत विभाजन होते हे पुढे दिले आहे. 2 = (1,1) 3 = (1,2) 4 = (1,3), (2,2) 5 = (1,4), (2,3) 6 = (1,5), (2,4), (3,3) 7 = (1,6), (2,5), (3,4) 8 = (1,7), (2,6), (3,5), (4,4) 9 = (1,8), (2,7), (3,6), (4,5) 10 = (1,9), (2,8), (3,7), (4,6), (5,5) पाटी पेन्सिलीचा उपयोग न करता मनातल्या मनात बेरीज किंवा वजाबाकी करण्यास मुलांना प्रवृत्त केले पाहिजे असे वाटते.

तीन संख्यांची बेरीज आणि वजाबाकीची मिश्र उदाहरणे बेरीज करताना एखादी बेरीज दहापेक्षा जास्त असल्यास येणारे हातचे पुढील दशकात मिळवावे लागतात. मग तीन अंकांची बेरीज करावी लागते. यासाठी विद्यार्थ्यांना तीन संख्यांच्या बेरजेचा सराव दिला जातो. अशा तीन अंकांची बेरीज करताना मागच्या परिच्छेदात वर्णन केलेल्या कामाचा उपयोग केल्याने बेरजा लवकर करता येतात. पण दुसऱ्या वर्गात सुद्धा विद्यार्थ्यांना बेरीज व वजाबाकी समाविष्ट असलेल्या पदावल्या सोडवण्याचा सराव दिला जात नाही. हातच्याची वजाबाकी करताना अशी मिश्र पदावली सोडवावी लागते. अशा मिश्र पदावलीचे स्वरूप साधारण 10+5-8 अशा स्वरूपाचे असते. आधी बेरीज आणि मग वजाबाकी असा ठोस नियम विद्यार्थ्यांना सांगितला जातो पण येथे आधी वजाबाकी आणि मग बेरीज करणे सोयीचे ठरते. 8 आणि 2, 10, आणि 5 अधिक 2 = 7 म्हणून हे मिश्र उदाहरणाचे उत्तर, आधी बेरीज आणि मग वजाबाकी असा क्रम ठेवल्यास 15-8 चे उत्तर काढावे लागेल. आधी वजाबाकी केल्याने नेहमी लहान संख्यांची बेरीज करावी लागते. पण वजाबाकीची ही रीत शिकवण्याआधी बेरीज आणि वजाबाकी ह्या दोन क्रिया आंतरभूत असलेली उदाहरणे सोडवण्याचा सराव विद्यार्थ्यांना देणे आवश्यक आहे. खाली दोन तीन प्रकारची उदाहरणे सोडवून दिली आहेत. 1) 5 00000 2) 10 0000000000 3) 3 000 +4 0000 +6 000000 +8 00000000 -6 – 9 – 5 —————- —————– —————- 3 7 6 आधी बेरीज करणे सोयीचे नसते हे ह्या उदाहरणावरून स्पष्ट होईल. पहिल्या उदाहरणाला आधी बेरीज करणे आवश्यक आहे. पण हातच्याच्या वजा बाकीच्या उदाहरणात आधी वजाबाकी करणे सोयीचे असते हे उघड आहे. दोन्ही क्रिया करताना संख्या 10 पेक्षा मोठ्या नसतात.

(क्रमशः)

[1. गेल्या अंकात पृष्ठ 36 वर मजकुरातील खालून तिसऱ्या ओळीत असे लिहिले आहे. येथे 4 च्या खालील आडवी रेघ हीच या चिन्हाचे काम करते. त्यामुळे वेगळे ‘=’ हे चिन्ह नको. चुकीबद्दल दिलगीर आहोत. 3 +4 = 7 2. या लेखमालेबद्दल शिक्षण पेशाशी संबंधित व इतर लोकांकडून सूचनांची अपेक्षा आहे. फडणीस यांनी विकसित केलेले हे तंत्र नागपुरातील सांदिपनी विद्यालयात वापरात आहे व विद्यार्थ्यांचा प्रतिसाद आशादायक आहे. – सं . ]

९२, शुभलक्ष्मी अपार्टमेट्स, जनार्दन स्वामी मार्ग, रामनगर, नागपूर-३३