संख्याशास्त्र —- भरवसा बेभरवशाचा

या लेखात आधुनिक विद्याशाखांपैकी एका नव्या आणि तुलनेने बाल्यावस्थेतील विषयाची तोंडओळख करून द्यायची आहे. प्रथम या विद्याशाखेचे स्वरूप थोडक्यात सांगून मग त्याच्या उपयोगाची काही उदाहरणे दिली आहेत.
आधुनिक संख्याशास्त्र हे पा चात्त्य जगात सुमारे शंभर वर्षांपूर्वी उदयाला आले कोणत्याही विज्ञानशाखेचा अभ्यासविषय म्हणजे सभोवतालचे जग त्यातील घडा-मोडीचे निरीक्षण करून त्यांच्यासंबंधी सूत्ररूपात नियम, सिद्धान्त वगैरे सांगणे, हेच विज्ञानाचे ध्येय-निरीक्षण व नोंद हा पहिला टप्पा अशा आकडेवारीला सुद्धा ‘statistics’ म्हटले जाते पण माहितीची जंत्री म्हणजे विज्ञान नव्हे. तिच्यातील समाईक सूत्र हाच विज्ञानाचा गाभा.
भौतिकशास्त्र, रसायनशास्त्र, ह्या विषयांमध्ये नियमांची निश्चिती असते. हायड्रोजन वायू जाळला तर पाणी मिळते हा निरपवाद नियम असतो. गुरुत्वाकर्षणाचा नियम असाच. उलट संख्याशास्त्र हे अनि िचततेचे विज्ञान आहे. गोष्टी अगदी पक्क्या असतील तेथे संख्याशास्त्राला स्थान नाही. त्या डळमळीत असल्या तर स्थान आहे. डळमळीत म्हणजे कशा? आपण उदाहरण पाहू. माणसाच्या आयुर्मानाचे. माणसाच्या आयुष्याबाबत निचित गोष्ट एकच. ‘जातस्य हि ध्रुवो मृत्युः’. जन्माला आलास? मग मरण अटळ. उलट माणूस कोणत्या वयाला जगाचा निरोप घेईल हे नक्की सांगता येत नाही. सांगता येतात ते संख्याशास्त्रीय नियम. असे नियम व्यक्तीसंबंधी नसून गटांसंबंधी असतात. संभाव्यतेचे गणित हा त्यांचा आधार असतो. या अर्थाने गणिताला संख्याशास्त्राचा पाया म्हणता येईल.
संभाव्यतेच्या गणिताचे सगळ्यांत सोपे उदाहरण म्हणजे नाणेफेक. छाप पडेल की काटा? प्रत्येकाची संभाव्यता 50 टक्के. लागोपाठ दोन वेळा नाणे फेकल्यास काय दिसेल? छाप-छाप, छाप-काटा, काटा-छाप, काटा-काटा असे चार पर्याय शक्य आहेत. प्रत्येकाची संभाव्यता 25 टक्के. नाणेफेकींची संख्या वाढेल तसा या हिशोबातील गुंता वाढतो. Binomial Theorem नावाचे गणिती सूत्र येथे कामास येते. येथे लोकांना एक कोडे पडते. अनि िचततेची नि िचती हा वदतोव्याघात नव्हे काय? मुद्दलात परिस्थिती बेभरवशाची. मग नियमांबाबत भरवसा वाटावा तरी कसा? त्यापरते, नियम सांगण्याची हतबलता कबूल करणे हेच सुजाणपणाचे लक्षण नव्हे काय?
वरील मांडणीत थोडे तथ्य आहे. पण म्हणून हात टेकायचे कसे? जीवनाचा प्रवाह चालूच असतो. विज्ञानाला निसर्गाची सगळी कोडी सुटेपर्यंत तो थांबतो थोडाच? म्हणून प्राप्त परिस्थितीत मार्ग काढावा लागतो. वाटल्यास व्यक्तीऐवजी फक्त गटांसंबंधी विधान करणाऱ्या संख्याशास्त्रीय नियमांना आपण अंतिम सत्याच्या शोधपथावरील एक टप्पा समजू या. या टप्प्याचे व्यावहारिक महत्त्व मात्र वादातीत आहे.
माणसाच्या आयुर्मानाच्या मोजणीचाच विषय घ्या ना. विशिष्ट व्यक्तीच्या आयुष्याची लांबी किती हे संख्याशास्त्रातून ठरवता येत नाही. पण धूम्रपान करणारांचे सरासरी आयुष्य कमी, हे सांगता येते. भारतात गेल्या शंभर वर्षांत लोकसंख्येचे सरासरी आयुर्मान जवळपास दुप्पट होऊन सत्तर-पंचाहत्तर पर्यंत गेले आहे, हे दिसते. अशा गटांबद्दलच्या नियमांचा वापर करून आयुर्विमा महामंडळ केवढे गब्बर झाले आहे. त्यांचा धंदा कसा चालतो? समजा 30 वर्षाच्या पुरुषाची पुढील एक वर्षात मृत्युमुखी पडण्याची संभाव्यता 1 टक्का आहे. समजा असा मृत्यू झाल्यास वारसाला एक हजार रुपये देण्याची बोली करायची आहे. मग त्या माणसाकडून विम्याचा हप्ता म्हणून किती पैसे घ्यावेत? अशा शंभर जणांचे विमे उतरायचे आहेत असे समजू म्हणजे साधारणपणे त्यातील एक तरुण मरेल व बाकीचे जगतील. त्या तरुणाच्या वारसाला देण्याचे हजार रुपये सगळ्या शंभरांकडून वसूल करायचे तर प्रत्येकाला दहा रुपये आकार लावावा (अर्थात महामंडळाचा खर्च व नफा यांचा विचार करून आकडा वाढवावा लागेल) हे अत्यंत बाळबोध उदाहरण आहे. पण त्यातील तत्त्व सर्वत्र लागू पडते. विमा उतरवल्याने धोका संपत नाही. पण वाजवी खर्चात संरक्षणाची तजवीज होते. असे संरक्षण एकट्या दुकट्याला जमत नाही. अशा गोष्टी गटानेच करायच्या असतात.
संभाव्यतेवर आधारित हिशोब आणि त्यांचा व्यवहारातील निर्णयांशी जुळलेला सांधा असे संख्याशास्त्राचे दुपेडी रूप आहे. हा सांधा जुळवताना एक तत्त्व गृहीत धरलेले असते. ‘असंभाव्य गोष्टी घडत नाहीत’ हे ढोबळ आणि भाबडे वाटणारे विधान सतत कामाला येते. ते सिद्ध करण्याचा आपण प्रयत्न करीत नाही. ते स्वयंसिद्ध मानतो. काय त्याचा उपयोग? निरीक्षणांची/घडलेल्या गोष्टींची संभाव्यता ठरवायची, ती फार कमी निघाली तर केलेले हिशोब बदलायचे. एका उदाहरणातून हे स्पष्ट होईल —-
क्रिकेट सामन्यांच्या एका साखळीत कपिल देवने पाच वेळा नाणेफेक जिंकली. लोक त्याला नशिबवान कप्तान म्हणू लागले. नशिबवान म्हणजे काय, तर ज्याच्या बाबतीत एरवी असंभाव्य वाटणारी गोष्ट घडते. तो पाच वेळा सलग नाणेफेक जिंकण्याची संभाव्यता /2 x Y x Y x Y x Y = 1/32 म्हणजे सुमारे 3% ही फार कमी आहे का? अगदी असंभव म्हणण्याइतकी कमी? या प्रश्नाला गणिती उत्तर नाही. स्थल-काल-प्रसंगसापेक्ष आडाखे वापरून हा निर्णय घेतला जातो. एक संकेत असा की 1% वा त्याहून कमी संभाव्यता असली तर ती घटना असंभव मानावी. या आडाख्यानुसार (12)7 = 1/128 म्हणजे एक टक्क्याहून कमी संभाव्यता. म्हणून सलग सात वेळा नाणेफेक जिंकली तरच नशिबवान म्हणावे. अर्थात काय म्हणावे ही बाब तुम्ही कोणाच्या बाजूला आहात यावर अवलंबून असते. विरुद्ध पक्षाचे कैवारी म्हणतील की सात वेळा जिंकणे याचा अर्थ नाण्यात वा फेकीत गोलमाल असणार.
कोणी म्हणेल की क्रिकेटमध्ये नाणेफेक जिंकणे या चीजेची मातब्बरी ती कितीशी? तिच्यावर चर्चेचे गुन्हाळ किती वेळ लावणार? मान्य. त्याऐवजी आपण औद्योगिक क्षेत्रातील गुणवत्ता नियंत्रण (statistical quality control) या विषयाकडे वळू. संभाव्यतेचे गणित मात्र तेच.
समजा कारखान्यात तांब्याची तार बनवायची आहे. तिची जाडी हवी 1 मि. मी. 5 टक्के पुढेमागे चालेल. [म्हणजेच तांत्रिक भाषेत (target value 1 mm & tolerance +_ 0.05 mm)] नजर ठेवण्याची रीत काय तर उत्पादन चालू असताना अधून-मधून नमुना म्हणून एखादा तुकडा घ्यायचा, त्याची जाडी मोजायची, ती मर्यादेच्या (tolerance limit च्या) बाहेर गेली असेल तर उत्पादन थांबवून चूक सुधारायची. येथपर्यंतही वेळ येऊ द्यायची नसेल तर आणखी बारकाईने लक्ष ठेवायचे. माप मर्यादे-बाहेर गेले नाही तरी सतत 1 मि.मी.च्या वर राहिले तरी संशयाला जागा राहते. सलग 7 वेळा माप वरतीच राहिले तर उत्पादन थांबवावे. यंत्रयोजना (machine setting) बदलले आहे का, हे तपासावे. असंभव वाटणारी घटना घडली याचा अर्थ मुळात माप 1 मि.मी.च्या वर जाण्याची संभाव्यता 50 प्रतिशत हे गृहीतक बदलायला हवे. ती जास्त असावी असे मानायला हवे. हीच विज्ञानाची रीत. प्रयोग प्रामाण्य/निरीक्षण प्रामाण्य. जे दिसेल ते स्वीकारा. संभाव्यतेचे हिशोब सुधारा. तर्क आणि अनुभव यात फारकत दिसली की तर्क बदलावा.
मी सुरुवातीला असे म्हणालो की भौतिकशास्त्र, रसायन अशा विज्ञानशाखांमध्ये संभाव्यता आणि संख्याशास्त्र यांना स्थान नाही, कारण तेथे सर्व मामला निश्चितीचा असतो. हे सांगणे ढोबळमानाने खरे आहे. पण त्यालासुद्धा अपवाद आहेतच. पहिला अपवाद अतिसूक्ष्म पातळीवरचा. Quantum machanics या क्षेत्रामध्ये संभाव्यता गणिताचा वारंवार आधार घेतला जातो. दुसरा अपवाद अमर्याद गुंतागुंतीच्या निसर्ग विभ्रमांचा. त्याचे एक उदाहरण म्हणजे हवामानअभ्यास. हवामान खात्याइतकी दुसऱ्या कोणाची टिंगलटवाळी झालेली मी पाहिली नाही. का? तर त्याचे अंदाज चुकतात म्हणून. यात त्यांच्यावर थोडासा अन्याय होतो. तो कसा? एक तर ही मंडळी आपले अंदाज लेखी, वेळेवर, रोजच्या रोज जनतेपुढे सादर करतात. म्हणून त्यांची चूक लक्षात येते, शिवाय त्यांच्या बरोबर ठरलेल्या अंदाजांची गिनती कोणी करत नाही, एखादी ढोबळ चूक मात्र सगळेजण खूप दिवस आठवत राहतात, ते असो. मुद्दा असा की वारे, तापमान, पाऊस, विजा हे सारे पदार्थविज्ञानाचे अभ्यासविषय. पण त्यांच्यात गुंतागुंत पराकोटीची. इतकी की वैज्ञानिक हात टेकतात. अशा वेळी संख्याशास्त्राचा पर्याय वापरणे सोयीचे ठरते. गेली अनेक वर्षे भारतातील एकूण पर्जन्यमानाचा अंदाज बांधण्यासाठी गोवारीकर सूत्र/समीकरण वापरले जाई. ते जवळपास संपूर्णतः संख्याशास्त्रा-वर आधारित आहे. यंदा त्या समीकरणात सुधारणा केली जात आहे. ती देखील संख्या-शास्त्रीयच आहे.
असेच दुसरे उदाहरण म्हणजे अग्निबाणविषयक संशोधन. यासंबंधीच्या एका प्रयोगात मी सहभागी झालो होतो. त्यातील कल्पना पुढीलप्रमाणे—-एक लोखंडी नळी मालट्रकवर उभी बांधायची. तिच्यात अग्निबाण ठेवायचा. म्हणजे तो हवा तेथे नेऊन उडवता येतो. मग त्याच नळीत दुसरा बाण ठेवायचा. ही रीत. नळी वारंवार वापरायची तर तिचे बूड अग्निबाणातून बाहेर पडणाऱ्या वायूचे उच्च तापमान व दाब यांपुढे टिकायला हवे. नळीच्या तळाला किती दाब व तापमान असेल? ते मोजायला sensors लावले तर जळून जातात. यासंबंधीचे भौतिकशास्त्र फार अवघड व कटकटीचे आहे असे तज्ञ सांगतात. त्याला Computational fluid dynamics असे म्हणतात. याला सोयीचा व सोपा पर्याय म्हणून संख्याशास्त्राचा विचार केला जात होता. जेथे शक्य तेथे प्रत्यक्ष मापन करून जेथे अशक्य तेथे संख्याशास्त्रीय समीकरणे वापरून अंदाज बांधण्याचा खटाटोप आम्ही केला.
भौतिकशास्त्रातसुद्धा कोठे-कोठे संख्याशास्त्राचा आढळ दिसला तरी त्याचा वारंवार वापर होतो तो जीवशास्त्र, शेती, वैद्यक, परिसर, व्यवस्थापन, समाजशास्त्रे अशा क्षेत्रांमध्ये. विविध क्षेत्रांतील संख्याशास्त्राच्या वापराची अनेक उदाहरणे मी दोन वर्षांपूर्वी Resonance नामक मासिकात सात लेखांच्या मालिकेद्वारे मांडली आहेत. कायदा, वाङ्मय, इतिहास या शाखांमध्येसुद्धा संख्याशास्त्राचा वापर होतो पण तुलनेने कमी. या थोड्या अनवट उपयोगांची उदाहरणे आता देतो.
न्यायक्षेत्र: न्यायप्रक्रियेत संख्याशास्त्राचा वापर केल्याची उदाहरणे अमेरिकेत दिसतात. R. J. Raynolds नामक कंपनीच्या एका कारखान्याच्या संबंधीचा हा खटला. वीज वापरून खनिज वितळवून त्यातून धातूचा रस वेगळा करण्यासाठी अनेक भट्ट्या येथे मांडलेल्या होत्या. कारखान्यात संप झाला. कामगारांनी गुंडपुंडशाहीने वीजपुरवठा तोडला. भट्ट्या थंड झाल्या व तडकल्या. मालकांनी कामगार संघटनांवर खटला भरला. गुन्हा सिद्ध झाला. मालकांनी नव्या भट्ट्या बांधण्याच्या खर्चाइतकी नुकसानभरपाई मागितली. कामगारांचे उत्तर असे की भट्ट्या जुन्या होत्या. मरायला टेकलेल्या होत्या. त्यांचे आयुष्य जवळपास संपलेलेच होते. नुकसानभरपाई भट्ट्यांच्या उर्वरित आयुष्याच्या प्रमाणात हवी हे मान्य झाले पण उर्वरित आयुष्य किती? न्यायाधीशांना ते ठरवता येईना. शेवटी यंत्रसामग्रीच्या आयुर्मानाबद्दलचे सांख्यिकी हिशोब वापरून निर्णय ठरवण्यात आला. (भारतात या वर्षी स्टरलाइट कंपनीच्या बाल्को या छत्तीसगढमधील कारखान्यात कामगारांनी नेमकी अशीच नासधूस केली. तेथे संख्याशास्त्रीय मापनाचा वापर होईल काय? मला त्याची संभाव्यता फार कमी वाटते.)
इतिहासक्षेत्र: दामोदर धर्मानंद कोसंबी हे गणितज्ञ भारताच्या प्राचीन इतिहासाचे गाढे पंडित होते. टाटा इन्स्टिट्यूट ऑफ फंडामेंटल रीसर्च या संस्थेत गणितज्ञ म्हणून काम करताना त्यांनी इतिहाससंशोधनाचे मोठे काम पार पाडले. भारताच्या प्राचीन इतिहासाचा अभ्यास करताना ताम्रपट, शिलालेख वगैरे साधने उपयोगी पडतात. त्यांच्याप्रमाणे पुरातन नाणीसुद्धा उपयुक्त माहिती देऊन जातात. नाणी जितकी जास्त काळ चलनात असतात तितकी त्यांची जास्त झीज होते व वजनात घट येते. ही घट अतिसूक्ष्म असते. इतकी की तिच्या मापनासाठी होमी भाभा यांना स्वित्झर्लंडहून खास तराजू मागवावे लागले. कोसंबी यांनी नाण्यांच्या वापराचा कालावधी आणि वजनातील घट यांच्या नात्याचे संख्याशास्त्रीय समीकरण मांडले. ते वापरून कालनिर्णयाची काही कोडी त्यांना सोडवता आली.
वाङ्मयक्षेत्र: य. दि. फडके आणि वसंत पळशीकर या दोन अभ्यासकांमध्ये पंचवीस वर्षांपूर्वी एक वाद झाला. ‘केसरी’ प्रकाशनाच्या सुरुवातीच्या काळात प्रसिद्ध झालेले काही अग्रलेख कोणाच्या लेखणीतून उतरले असावेत यावर तो वाद होता. त्या 13 लेखांवर अधिकृतपणे कोणाचेच नाव घातलेले नव्हते. फडके यांच्या मते ते लिखाण टिळकांचे असावे. तर पळशीकरांच्या मते आगरकरांचे. मजकुराचे विश्लेषण करून सर्वमान्य निर्णय होत नसेल तर संख्याशास्त्रीय पद्धतीने काही विचार करता येतो. प्रथम संबंधित लेखकांच्या ज्ञात लिखाणाचा अभ्यास करावा; त्यांचे सांख्यिकी गुणधर्म मोजावे/मापावे; मग वादग्रस्त लिखाणाचे सुद्धा तसेच मापन करावे. या मापनातून त्या लिखाणाची वेगवेगळ्या लेखकांच्या शैलीशी जवळीक मोजायची. जो लेखक सर्वांत जवळचा त्याचे ते लिखाण.
लेखनशैलीचे कोणते गुणधर्म असे उपयोगी पडतात? उदा. वाक्यांची लांबी. कोणी लांब पल्लेदार वाक्ये लिहितो, तर कोणी छोटेखानी. महात्मा गांधी छोटी वाक्ये वापरीत असे म्हणतात. काही वेळा एखादा लाडका शब्द लेखकाच्या धाटणीचे लक्षण ठरतो. यासाठी शब्द किती वेळा वापरला याची मोजदाद कामी येते. मी टिळक व आगरकर यांच्या लिखाणाची अशा दृष्टीने तपासणी केली. पण बहुतेक वेळा गुणधर्माबाबत लिखाणात सातत्य नसल्याचेच आढळून आले. मग कसली कपाळाची निश्चिती करणार? आणखी एक पर्याय म्हणजे विरामचिन्हांच्या वापराचे प्रमाण. असे लक्षात आले की स्वल्पविरामाच्या वापरात हे दोघे वेगळे आहेत. त्यावरून अनुमान निघाले की संबंधित अग्रलेख आगरकरांनी लिहिले असण्याची संभाव्यता अधिक.
[Resonance मासिकात डॉ. शरयू परांजपे यांच्या सहकार्याने लिहिलेल्या सात लेखांचा संदर्भ वरील टिपणाला आहे.]
Why Quantification? (1999), Resonance, Vol.4, No.5, pp 19-30
Dice of Life (1999), Resonance, Vol.4, No.9, pp 14-23
Just for Ecologists (2000), Resonance, Vol.5, No.5, pp 15-25 ___Numeracy in Research Planning (2000), Resonance, Vol.5, No.9, pp 14-23 ___Numeracy in Health (2001), Resonance, Vol.6, No.3, pp 8-18 6. Numeracy in Social Sciences, Resonance (2001), Vol.6, No.6, pp 6-17
7.Numeracy in Industry, Resonance (2001), Vol.6, No.8, pp 8-21
संभाव्यता (Probability) आणि यादृच्छिकता (Randommess)
संभाव्यता हा संख्याशास्त्राचा पाया आहे. एखाद्या घटनेची संभाव्यता हा शून्य ते एक या दरम्यानचा अपूर्णांक असतो. संभाव्यता शून्य म्हणजे ती घटना अशक्य. संभाव्यता एक म्हणजे त्या घटनेची खात्री वा निश्चिती. होणारे मूल मुलगा असण्याची संभाव्यता 1/2 असते म्हणजे काय? म्हणजे अशा जन्मांमध्ये मुलांचे प्रमाण निम्मे असणार. हे गुणोत्तर काढताना बालजन्मांची मोठी संख्या विचारात घेतली पाहिजे. (याला relative frequency interpretation of probability असे म्हणतात). द्यूतामध्ये फासे टाकताना दान किती पडेल याचे गणित करण्यातून संभाव्यता गणिताचा जन्म झाला असे सांगतात. 1 ते 6 असे आकडे दान म्हणून शक्य असतील तर प्रत्येक आकड्यांची संभाव्यता 1/6. सम दान पडेल (2, 4, 6) याची संभाव्यता 3/6. वगैरे. अशी विधाने वारंवार करता येणाऱ्या प्रयोगांसंदर्भात उपयुक्त असतात परंतु नेहमीच्या व्यवहारातील अनेक बाबतीत हे शक्य नसते.
समजा कोणी म्हणाले की ‘पुढील निवडणुकीनंतर सोनिया गांधी पंतप्रधान होण्याची संभाव्यता 1/3 आहे.’ तर या विधानाचा अर्थ कसा लावायचा? हा वारंवार करता येण्याजोगा प्रयोग नव्हे. म्हणून पर्यायी कल्पना मांडतात. तिला व्यक्तिनिष्ठ संभाव्यता (subjective probability) असे म्हणतात. तात्पर्य, आपापला अंदाज. पण हा अंदाज बांधताना तर्कसुसंगत राहण्याचे बंधन पाळावयाचे, एरवी अनर्थ होईल. या रीतीने दिलेल्या संभाव्यतेचे ‘degree of rational belief’ असे वर्णन करता येईल. या पद्धतीची मांडणी जॉन मेनार्ड केन्स या अर्थशास्त्राच्या पंडिताने ‘A Treatise on Probability’ या ग्रंथात केली आहे.
“यादृच्छिक (random)” ही संख्याशास्त्रामधील अत्यंत महत्त्वाची संकल्पना आहे, तशी थोडी निसरडी. उपनिषदात ईश्वराचे वर्णन करताना ऋषी फार अडखळले. ‘नेति, नेति’ अशा शब्दांत बोलले. तशाच त-हेने, यादृच्छिक म्हणजे काय नव्हे ते सांगणे सोपे आहे. कोणत्याही गणिती सूत्रात, तालात न बसणारी साखळी ती यादृच्छिक म्हणावी. लॉटरीच्या निकालात विजयी तिकिटांचे क्रमांक ठरवतात. कसे? यादृच्छिक. कोणत्याही नियमांच्या पार. ते एखाद्या नियमाने काढले आणि गिन्हाइकांना तो नियम कळला तर लॉटरी चालवणारे बुडतील. मतदारांची नमुना पाहणी करायची असेल तर नमुना-मतदार निवडावे कसे? यादृच्छिक पद्धतीने. एरवी नमुना प्रातिनिधिक होणार नाही. नमुना पाहून काढलेले निष्कर्ष चुकतील. व्हिएतनाम युद्धाच्या काळात अमेरिकेत तरुणांची सक्तीने लष्कर भरती करताना जन्मतारखांची लॉटरी काढत. (ज्यांची तारीख आली ते तरुण लगेच भरती केले जात.) ही कशी काढता येईल? ‘दहा कोऱ्या चिठ्या घ्या. 0 ते 9 हे दहा आकडे चिठ्यांवर लिहा एका चिठ्ठीवर एक आकडा. चिठ्या एकत्र मिसळा. एक चिठ्ठी उचला व आकडा नोंदवून पुन्हा ढिगात टाका. तीन चिठ्या बघितल्या की तीन आकडी संख्या मिळते. संख्या 001 म्हणजे जानेवारी 1. संख्या 365 म्हणजे डिसेंबर 31.
प्रत्यक्षात अमेरिकन सरकारने कोणती पद्धत वापरली कोण जाणे. पण लोकांनी आरोप केले की बड्या मंडळींच्या मुलांच्या तारखा नेमक्या लॉटरीतून सुटल्या. असे आरोप टाळायचे तर सोडत ही सर्वांसमक्ष व सर्वमान्य रीतीने व्हायला हवी. कारण random हे विश्लेषण पद्धतीला लावण्याचे आहे, परिणामाला नव्हे.
व्यवहारामध्ये यादृच्छिक आकड्यांची (म्हणजे त्यांच्या साखळ्यांची) गरज फार मोठ्या प्रमाणावर भासते. म्हणून चिठ्या उचलण्याचा खटाटोप पुरत नाही. पर्याय म्हणून अशा साखळ्या निर्माण करणारी प्रणाली संगणकात घातलेली असते. बऱ्याच संगणकांमध्ये RND नावाने ह्या प्रणालीचा निर्देश आढळतो. या प्रणालीत गणिती सूत्रेच वापरलेली असतात. आता हा तर अगदी वदतोव्याघातच झाला. कोणत्याही नियमात, तालात, लयीत न बसणारी आकड्यांची साखळी उभारण्यासाठी गणिती सूत्र कसे काय वापरतात? या अपराधाची कबुली म्हणून की काय या साखळ्यांना random numbers असे न म्हणता pseudorandom numbers असे म्हणतात. कारण pseudo म्हणजे कृतक किंवा खोटा. अर्थात या साखळ्यांमागील ताल वा लय सापडणे फार कठीण असते. हे काठिण्य जितके अधिक तितकी ती प्रणाली जास्त गुणवान. माणसाच्या मेंदूला लय/ताल फार सहज समजतात. उलट त्यांच्या अभावाची कल्पना करणे कठीण जाते. म्हणून यादृच्छिक साखळ्यांची नक्कल करणे सर्व-सामान्य माणसाला जमत नाही. म्हणून त्यांच्या लपवाछपव्या उघडकीस आणता येतात.
समजा तुम्हाला रेल्वे प्रवाशांच्या मुलाखती घेण्याचे काम दिले आहे. त्यात वय, उत्पन्न वगैरे माहिती व सेवेबद्दलची मते नोंदायची आहेत. प्रथम तुम्ही मना-पासून काम करता. पण नंतर कंटाळून खोटेच अहवाल भरू लागता. सगळीकडे तेच वय लिहिणे वेडेपणाचे ठरेल. म्हणून थोडे पुढे मागे कराल. पण ती यादृच्छिक साखळी असणार नाही आणि संख्याशास्त्रीय तपासणीत ते उघड होईल. 40 एम्प्रेस गार्डन व्ह्यू सोसायटी, सुपारी बागेजवळ, पुणे — 411 001